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Raiz de número negativo existe s i m !

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Na verdade, primeiro teremos que fazer uma coisa inédita no blog, separar e classificar nossos leitores! rs É isso mesmo separar e classificar. Se você está cursando o Ensino Fundamental na escola, então por enquanto esquece esse negocio de raiz negativa ok? Vocês ainda estam nos conjuntos dos números reais e realmente, neles não existe raiz de número negativo. Agora se você está no Ensino Médio, Ensino Superior em diante, a resposta para isso são os números complexos !
Que aliás de complexos não tem nada. Estes números ficam fota dos conjuntos dos reais e com eles é possível calcular a raíz de -25 por exemplo. De maneira resumida e rápida basta você calcular a raiz apenas do número esquecendo o sinal, assim raiz de 25 é 5 . E se acrescenta a letra i. Portanto a raiz de -25 é 5i. 

Mais detalhadamente: 
Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x2 – 10x +40 = 0. Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os matemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss (1777-1855).
O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos.
Portanto, nessa seção serão abordados assuntos como: concepções básicas do número complexo, operações aritméticas com números complexos, operações trigonométricas com os números complexos, o Plano de Argand-Gauss, entre outros artigos que se relacionam com os números complexos – números de grande importância e aplicabilidade.

fonte de pesquisa: http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-complexos.htm
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