Ângulos

 Ângulo é o resultado da rotação de uma semi-reta em torno de sua origem em relação a outra semi-reta fixa num mesmo plano. Imagine um relógio cujo ponteiro dos minutos, por exemplo, está quebrado, apontando sempre para o número 12: o movimento do ponteiro dos segundos, em relação ao ponteiro imóvel, gera um ângulo diferente.

O ângulo e seus elementos

Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa. Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:

Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas. O ângulo convexo, de vértice O e lados  , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.

Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.

• As semi-retas  coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.
  
  
• As semi-retas  não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.
  
  

Podemos, então, estabelecer que: Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.

Medida de um ângulo

A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º. Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).

Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º. O grau compreende os submúltiplos:

O minuto  corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.

           1º = 60'           

O segundo  corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.

           1'=60''          

 

Logo, podemos concluir que: 1º = 60'.60 = 3.600'' 

Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.

Como medir um ângulo, utilizando transferidor 

Observe a seqüência:

1. O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo. 
2. A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do ângulo  . 
3. Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .

Leitura de um ângulo

Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras: 

15º (lê-se "15 graus'') 

45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'') 

30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'') 

Observações: Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em navegação. A representação da medida de um ângulo pode também ser feita através de uma letra minúscula ou de um número. Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º. O ângulo de uma volta mede 360º.

Como construir um ângulo, utilizando transferidor

Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º: 

1. Traçamos uma semi-reta .
   
2. Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A). 
3. Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.
   
4. Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º. 

Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais. Eles podem ser desenhados com esquadro.

Transformação de unidades

Como vimos, quando trabalhamos com medidas de ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal. Observe nos exemplos como efetuar transformações nesse sistema:

Transformando 30º em minutos:
Sendo 1º = 60', temos:
30º = 30 . 60'= 1.800
Logo, 30º = 1.800

Transformando 5º35' em minutos.
Sendo 5º = 5 . 60' = 300'
300' + 35'= 335'
Logo, 5º35'= 335'.

Ângulos Congruentes

Observe os ângulos abaixo:

Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a seguinte indicação:

Assim: Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.

Ângulos Consecutivos

Observe a figura: 

Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB. Verifique em cada uma das figuras abaixo que:

	Os ângulos AÔC  e CÔB possuem:Vértice comum: O Lado comum:
	Os ângulos AÔC e AÔB possuem:Vértice comum: O Lado comum:
	Os ângulos CÔB  e AÔB possuem:Vértice comum: O Lado comum:

Os pares de ângulos AÔC e CÔB, AÔC e AÔB, CÔB e AÔB são denominados ângulos consecutivos. Assim: 

Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.

Ângulos adjacentes

Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:

	Os ângulos AÔC  e CÔB não possuem pontos internos comuns
	Os ângulos AÔC  e  AÔB possuem pontos internos comuns
	Os ângulos CÔB  e AÔB possuem pontos internos comuns

   

Verifique que os ângulos AÔC e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes. Assim: 

Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. 

Observação: Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos:

Bissetriz de um ângulo

Observe a figura abaixo:

m ( AÔC ) = m (CÔB ) = 20º

Verifique que a semi-reta  divide o ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e CÔB ) congruentes. Nesse caso, a semi-reta  é denominada bissetriz do ângulo AÔB. Assim: 

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.

Utilizando o compasso na construção da bissetriz de um ângulo  Determinação da bissetriz do ângulo AÔB.
Centramos o compasso em O e com uma abertura determinamos os pontos C e D sobre as semi-retas , respectivamente.
Centramos o compasso em C e D e com uma abertura superior à metade da distância de C  a D traçamos arcos que se cruzam em E.
Traçamos , determinando assim a bissetriz de AÔB.

Ângulo agudo, obtuso e reto

Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto. 

• Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:
  
  
• Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:
  
  
• Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:
  
  

Retas Perpendiculares
As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.

Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos:



Observação: duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos. Exemplo:

Ângulos Complementares

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo: 

Verifique que:

m (AÔB) + m (BÔC) = 90º 

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são complementares. Assim:

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º. 

Exemplo: Os ângulos que medem 42º e 48º são complementares, pois 42º + 48º = 90º. Dizemos que o ângulo de 42º é o complemento do ângulo de 48º, e vice-versa. Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo     |     Complemento 

         x                  |             90º - x

Exemplo: Qual a medida do complemento de um ângulo de 75º? 

Solução
Medida do complemento = 90º - medida do ângulo
Medida do complemento = 90º - 75º
Medida do complemento = 15º
Logo, a medida do complemento do ângulo de 75º é 15º. 

Observação: Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares.

Ângulos Suplementares

Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo: 

As semi-retas  formam um ângulo raso. Verifique que: 

m ( AÔB ) + m (BÔC) = 180º 

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim: 

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º. 

Exemplo: Os ângulos que medem 82º e 98º são suplementares, pois 82º + 98º = 180º. Dizemos que o ângulo de 82º é o SUPLEMENTO do ângulo de 98º, e vice-versa. 

Para calcular a medida do suplemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 180º e a medida do ângulo agudo dado.

Medida do ângulo   |    Suplemento 

              X               |         180º - X 

Exemplo: Qual a medida do suplemento de um ângulo de 55º?

Solução
Medida do suplemento = 180º - medida do ângulo
Medida do suplemento = 180º - 55º
Medida do suplemento = 125º
Logo, a medida do suplemento do ângulo de 55º é 125º. 

Observação: Os ângulos XÔY e YÔZ da figura ao lado, além de suplementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes suplementares. 

Ângulos opostos pelo vértice

Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:

Verifique que:



Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim:

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.

Na figura abaixo, vamos indicar

Sabemos que: 

X + Y = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)
X + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

Então: 

Logo: y = k

Assim: m (AÔB) = m (CÔD)  AÔB  CÔD 

            m (AÔD) = m (CÔB)  AÔD  CÔB 

Daí a propriedade:  Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Observe uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema: Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60º e 3x - 40º. Qual é o valor de x?

Solução

x + 60º  = 3x - 40º   ângulos o.p.v         x - 3x    = - 40º - 60º           -2x       =  - 100º               x       = 50º Logo, o valor de x é 50º.