Equações de primeiro grau com uma variável

Uma equação (derivado do latim aequatĭo) constitui uma igualdade que contém pelo menos uma incógnita devendo ser desvendada por quem resolve o exercício. Essa igualdade é feita entre duas expressões algebraicas, as quais permitem conhecer os valores já conhecidos e as incógnitas relacionadas através de diversas operações matemáticas. 

Introdução

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5   (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3   (Não é igualdade)

   (não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

  x = -b/a

  

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

 A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

  1º membro ←2x-8 = 3x-10 → 2º membro

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. No caso do exemplo a cima, 2x é uma parcela, - 8 é outra, assim com 3x e -10.

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.

Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.

    Observe este outro exemplo:

•     Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25

O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.

Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.

Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U. Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.

Observações:

• O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

                                    

• Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo  o conjunto dos números racionais.

                                   

• O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência:

• Substituir a incógnita por esse número.
• Determinar o valor de cada membro da equação.
• Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Exemplos: Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

▸ Resolva a equação   x - 2  = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0 na equação x - 2  = 0 temos: 0 - 2 = 0  => -2 = 0. (F)

Para x = 1 na equação x - 2  = 0 temos: 1 - 2 = 0  => -1 = 0. (F)

Para x = 2 na equação x - 2  = 0 temos: 2 - 2 = 0  => 0 = 0. (V)

Para x = 3 na equação x - 2  = 0 temos: 3 - 2 = 0  => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

▸ Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

                                       

Para x = -1 na equação 2x - 5  = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1  => -7 = 1.(F)

Para x = 0 na equação 2x - 5  = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1  => -5 = 1. (F)

Para x = 1 na equação 2x - 5  = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1  => -3 = 1. (F)

Para x = 2 na equação 2x - 5  = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1  => -1 = 1. (F)

    A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V =  Ø.

Resolução de uma equação

Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

• Sendo   , resolva a equação    .

                            MMC (4, 6) = 12

                                

                                -9x = 10        =>   Multiplicador por (-1)

                                 9x = -10

                                

    Como  , então .

• Sendo , resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

            Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 

2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3

3x = -1

    

     Como  , então 

    

Equações impossíveis e identidades

• Sendo  , considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1).

Observe, agora, a sua resolução:

2 . 6x - 2  . 4 = 3 . 4x - 3 . 1

12x - 8 = 12x - 3 

12x - 12x = - 3 + 8

0 . x = 5

Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é  impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V =  Ø.

Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando  e 

•  Sendo  , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x.

            Observe a sua resolução:

-3x + 3x = 2 - 10 + 8

0 . x = 0 

Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.