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Equação do 2º grau

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Uma equação quadrática ou equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau dois que tem sua forma geral como ax² + bx + c = 0, onde x é uma variável, sendo a, b e c constantes, com a ≠ 0 (caso contrário, a equação torna-se linear). O termo "quadrático" vem de quadratus, que em latim significa quadrado.




Definições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

                                                    ax2 + bx + c = 0; ab, c   IR e 

Exemplo:
  • x- 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6.
  • 6x2 - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1.
  • 7x2 - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0.
  • x2 - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36.
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos ab e c de coeficientes.

                                                a    é sempre o coeficiente de  x²;
                                                b    é sempre o coeficiente de x,
                                                c    é o coeficiente ou termo independente.


Equações completas e incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
• x² - 9x + 20 = 0                • -x² + 10x - 16 = 0 


Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero.
Exemplos:
  • x² - 36 = 0
    (b = 0)
  • x² - 10x = 0
    (c = 0)
  • 4x² = 0
    (b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau
   
 Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes.

              Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação,
              transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. 

Exemplos:
  • Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação
    x² - x - 2 = 0 ?
Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para = -1(-1)² - (-1) - 2 = 0
1 + 1 - 2 = 0
0 = 0
(V)
Para = 00² - 0 - 2 = 0
0 - 0 -2 = 0
-2 = 0
(F)
Para = 11² - 1 - 2 = 0
1 - 1 - 2 = 0
-2 = 0
(F)
Para = 22² - 2 - 2 = 0
4 - 2 - 2 = 0
0 = 0
(V)
   Logo, -1 e 2 são raízes da equação.
  • Determine sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0.

    Substituindo a incógnita  x por 2, determinamos o valor de p.
     Logo, o valor de é .

Resolução de equações incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.

Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

Determine as raízes da equação , sendo .

Inicialmente, colocamos x em evidência:
       

                                                
                                                



1ª Propriedade:  
2ª Propriedade:  



1º Caso: Equação do tipo  .
Exemplo:

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:
Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

De modo geral, a equação do tipo  tem para soluções  e  .


2º Caso: Equação do tipo 
Exemplo:

Determine as raízes da equação , sendo = IR.
            Solução
                        
  
De modo geral, a equação do tipo ax² + c = 0 possui duas raízes reais se -c/a for um número positivo, não tendo raiz real caso -c/a seja um número negativo.


Resolução de equações completas


Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

A partir da equação ax² + bx + c = 0, em que a, b, c    IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2º passo: passar 4ac par o 2º membro. 

3º passo: adicionar aos dois membros. 
4º passo: fatorar o 1º elemento. 
5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros. 

6º passo: passar b para o 2º membro. 
7º passo: dividir os dois membros por 2a .
   Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:
    Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

   

   Exemplos:
  • resolução a equação: 
    Temos  
                        


Discriminante

Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega  (delta).
△ = b² - 4ac
Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:


▶ 1º Caso: O discriminante é positivo .

        O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:
Exemplo:
Para quais valores de a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais
Solução

Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter 
        Logo, os valores de k devem ser menores que 3.



▶ 2º Caso:  O discriminante é nulo  

            O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:
                                    

    Exemplo:
  • Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. 
    Solução

    Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .
                      

   Logo, o valor de p é 3.

 ▶ 3º Caso: O discriminante é negativo .


O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.
       

   Exemplo:
  • Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?

    Solução
    Para que a equação não tenha raiz real devemos ter 
                    
   Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.




Resumindo

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: 
Para △ > 0 , a equação tem duas raízes reais diferentes. 
Para △ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais. 
Para △ < 0, a equação não tem raízes reais.



Equações Literais

As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.


As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas parâmetros.
Exemplos:
                       ax2+ bx + c = 0                           incógnita: x
                                                                         parâmetro: a, b, c
                      ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0               incógnita: x
                                                                       parâmetro: a



  Equações literais incompletas

A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas.
Observe os exemplos:
  • Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.
          Solução
                         3x2 - 12m2 = 0
                                     3x2 = 12m2
                                       x2 = 4m2
                                      
                                       x=
Logo, temos: 
  • Resolva a equação literal incompleta my2- 2aby=0,com m0, sendo y a variável.
          Solução
                        my2 - 2aby = 0
                        y(my - 2ab)=0

Temos, portanto, duas soluções:

                     y=0
                      ou
                    my - 2ab = 0 my = 2ab  y= 
Assim: 


 Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido:

              my2 - 2aby= 0
                         my=  2aby
                        my = 2ab
                           
Desta maneira, obteríamos apenas a solução .
O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.
Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.


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