Equação do 2º grau

Uma equação quadrática ou equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau dois que tem sua forma geral como ax² + bx + c = 0, onde x é uma variável, sendo a, b e c constantes, com a ≠ 0 (caso contrário, a equação torna-se linear). O termo "quadrático" vem de quadratus, que em latim significa quadrado.

Definições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

                                                    ax² + bx + c = 0; a, b, c   IR e 

Exemplo:

• x² - 5x + 6 = 0    é um equação do 2º grau com a = 1,  b = -5  e  c = 6.
• 6x² - x - 1 = 0    é um equação do 2º grau com a = 6,  b = -1  e  c = -1.
• 7x² - x = 0         é um equação do 2º grau com a = 7,  b = -1  e  c = 0.
• x² - 36 = 0         é um equação do 2º grau com a = 1,  b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na  incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

                                                a    é sempre o coeficiente de  x²;

                                                b    é sempre o coeficiente de x,

                                                c    é o coeficiente ou termo independente.

Equações completas e incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero.
Exemplos:

• x² - 9x + 20 = 0                • -x² + 10x - 16 = 0 

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero.
Exemplos:

x² - 36 = 0 (b = 0)

x² - 10x = 0 (c = 0)

4x² = 0 (b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau

   

 Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes.

              Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação,
              transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. 

Exemplos:

• Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação
  x² - x - 2 = 0 ?

Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para x = -1	(-1)² - (-1) - 2 = 0 1 + 1 - 2 = 0 0 = 0	(V)
Para x = 0	0² - 0 - 2 = 0 0 - 0 -2 = 0 -2 = 0	(F)
Para x = 1	1² - 1 - 2 = 0 1 - 1 - 2 = 0 -2 = 0	(F)
Para x = 2	2² - 2 - 2 = 0 4 - 2 - 2 = 0 0 = 0	(V)

   Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0.
  
  
  Substituindo a incógnita  x por 2, determinamos o valor de p.
   Logo, o valor de p é .

Resolução de equações incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.

Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

Determine as raízes da equação , sendo .

Inicialmente, colocamos x em evidência:

       

                                                

                                                

1ª Propriedade:  

2ª Propriedade:  

1º Caso: Equação do tipo  .

Exemplo:

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

De modo geral, a equação do tipo  tem para soluções  e  .

2º Caso: Equação do tipo 

Exemplo:

Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

            Solução

                        

  

De modo geral, a equação do tipo ax² + c = 0 possui duas raízes reais se -c/a for um número positivo, não tendo raiz real caso -c/a seja um número negativo.

Resolução de equações completas

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

A partir da equação ax² + bx + c = 0, em que a, b, c    IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2º passo: passar 4ac par o 2º membro. 
3º passo: adicionar aos dois membros.  4º passo: fatorar o 1º elemento.  5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros. 
6º passo: passar b para o 2º membro.  7º passo: dividir os dois membros por 2a .

   Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

    Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

   

   Exemplos:

• resolução a equação: 
  Temos  

                        

Discriminante

Denominamos discriminante o radical b² - 4ac que é representado pela letra grega  (delta).

△ = b² - 4ac

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

▶ 1º Caso: O discriminante é positivo .

        O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo:

Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais

Solução

Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter 

        Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

▶ 2º Caso:  O discriminante é nulo  

            O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

                                    

    Exemplo:

• Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. 
  Solução
  
  
  Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

                      

   Logo, o valor de p é 3.

 ▶ 3º Caso: O discriminante é negativo .

O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.

       

   Exemplo:

• Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?
  
  
  Solução
  Para que a equação não tenha raiz real devemos ter 
                  

   Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

Resumindo

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: 

Para △ > 0 , a equação tem duas raízes reais diferentes. 

Para △ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais. 

Para △ < 0, a equação não tem raízes reais.

Equações Literais

As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.

As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas parâmetros.

Exemplos:

                       ax²+ bx + c = 0                           incógnita: x

                                                                         parâmetro: a, b, c

                      ax² - (2a + 1) x + 5 = 0               incógnita: x

                                                                       parâmetro: a

  Equações literais incompletas

A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas.

Observe os exemplos:

• Resolva a equação literal incompleta 3x² - 12m²=0, sendo x a variável.

          Solução

                         3x² - 12m² = 0

                                     3x² = 12m²

                                       x² = 4m²

                                      

                                       x=

Logo, temos: 

• Resolva a equação literal incompleta my²- 2aby=0,com m0, sendo y a variável.

          Solução

                        my² - 2aby = 0

                        y(my - 2ab)=0

Temos, portanto, duas soluções:

                     y=0

                      ou

                    my - 2ab = 0 my = 2ab  y= 

Assim: 

 Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido:

              my² - 2aby= 0

                         my² =  2aby

                        my = 2ab

                           

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .

O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.

Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.