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Par ordenado

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Em matemática, um par ordenado (a, b) é um par de objetos matemáticos cuja ordem de ocorrência desses objetos é significante. Consiste de dois elementos, digamos a e b, dos quais um, digamos a, é designado como primeiro elemento e o outro como segundo elemento.



Definição


Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem. Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

                     

Assim: Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

Observação:
  1. De um modo geral, sendo y dois números racionais quaisquer, temos: (x,y) ≠ (y,x). Exemplo: (1,3) ≠ ( 3,1). 
    2.   Dois pares ordenados (x,  y) e (rs) são iguais somente se    x = r   e    s.


Representação gráfica de um Par Ordenado
    

Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.
Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

 Coordenadas Cartesianas
    
Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

 A (3, 5) ->  3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:



 Plano Cartesiano
Representamos um par ordenado em um plano cartesiano.

Esse plano é formado por duas retas, x e y,perpendiculares entre si.

A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixox).
A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).
      
O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).
  
 Localização de um Ponto

 Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:
  • O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.
  • O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.
  • No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:
  • Localize o ponto (4, 3).
 Produto Cartesiano
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3}  e  B = {3, 4}.Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.
Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
Esse conjunto é denominado produto cartesiano de por B, e é indicado por:
               
Logo:
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (xy) onde  

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