Um modo diferente de encontrar o mmc e o mdc entre dois números

Dois cálculos muito utilizados em matemática, são o mmc e o mdc, respectivamente, mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum. As definições e procedimentos para tais cálculos são comumente ensinados do final do ensino fundamental 1 para o ensino fundamental 2 (a partir do 5º ano). Nesta postagem você confere um procedimento geométrico para encontrar o mmc e o mdc entre dois números inteiros não-negativos.

Definição. Mínimo Múltiplo Comum: Sejam a e b inteiros diferentes de zero. O mínimo múltiplo comum, resumidamente mmc, entre a e b é o inteiro positivo m que satisfaz as seguintes condições: m é um múltiplo comum de a e b, isto é, a|m e b|m; m é o menor inteiro positivo com a propriedade anterior. Neste caso, denotamos o mmc entre a e b por m=mmc(a,b) ou por m=[a,b].

Definição. Máximo Divisor Comum: Sejam a e b inteiros diferentes de zero. O máximo divisor comum, resumidamente mdc, entre a e b é o número d que satisfaz as seguintes condições: d é um divisor comum de a e b, isto é, d|a e d|b; d é o maior inteiro positivo com a propriedade anterior. Neste caso, denotamos o mdc entre a e b por d=mdc(a,b) ou por d=(a,b). Se (a,b)=1, então dizemos que a e b são primos entre si.

O método indicado a seguir é uma referência de Polezzi para a obtenção geométrica do mdc e mmc entre dois números (definições a seguir) retiradas de Oliveira e Fernandes (p.106-107, 115). 

Método geométrico para encontrar o mmc e o mdc entre dois números 

• • Considere um retângulo R de lados, com medidas inteiras a e b, dividido em quadradinhos unitários.
  
• • Trace uma das diagonais do retângulo R, marcando-a nos pontos que são vértices de algum quadradinho unitário.
  
• • Conte quantas partes esses pontos dividem a diagonal: esse número d é o mdc(a,b).
  
• • Trace linhas verticais (horizontais), passando por cada um dos pontos que foram marcados antes, unindo dois lados opostos do retângulo R. Conte o número m de quadradinhos unitários existentes em qualquer um dos d retângulos (R1,R2,⋯,Rn) determinados por essas linhas verticais (horizontais): esse número m é o mmc(a,b). 

A figura a seguir representa os procedimentos do método para a=12 e b=21. A diagonal está dividida em três partes iguais; logo, 3=mdc(12,21). O número de quadradinhos existentes em qualquer um dos três retângulos é 7×12; logo, 84=mmc(12,21).

Ora, o método é justificado tomando que se d=mdc(a,b), existem inteiros u e v tais que a=du e b=dv, com u e v primos entre si.

Considerando um sistema de eixos ortogonais com a origem num dos vértices do retângulo, a equação da reta que contém a diagonal considerada é y=bax. Logo, pertencem à diagonal os pontos (0,0); (u,v); (2u,2v); ⋯; (du,dv), pois

ba=vu=2v2u=⋯=dvdu,

ou seja, são d+1 pontos de coordenadas inteiras, igualmente espaçados.

Para verificar que são apenas esses os pontos da diagonal com coordenadas inteiras, suponha que (p,q) pertença à diagonal e tenha coordenadas inteiras. Então,

q=ba⋅p=vu⋅p,

o que implica qu=vp e, sendo mdc(u,v)=1, vem que q=rv e p=ru, com 0≤r≤d.

Logo, a diagonal fica dividida em d pedaços iguais. Como os d+1 pontos são igualmente espaçados, os d retângulos obtidos no último item do procedimento têm a mesma área m. Assim, md=ab, o que mostra que m=mdc(a,b), e m é também o número de quadradinhos contido nos retângulos.

mmc e mdc: Processo mais ensinado nas escolas

Este método parece não ser ideal para valores de a e b arbitrariamente grandes. Outro procedimento para encontrar o mdc de dois números é ilustrado num exemplo em Roque e Carvalho (p.108-109), usaremos este procedimento, que em Hefez (p.89) é designado como Algoritmo de Euclides (explicação do procedimento em O Baricentro da Mente), para encontrar omdc(12,21), seguindo a mesma estrutura.

Comece por retirar 12 uma vez de 21, obtendo r1=9 como resto. Em seguida, retire 9 uma vez de 12, obtendo r2=3 como resto. Agora retire 3 três vezes de 9, obtendo 0. Logo 3 é o maior divisor de 12 e 21. Tal procedimento pode ser expresso da seguinte maneira:

Existem ainda outros métodos (procedimentos) para se encontrar o mmc e o mdc de dois e até mais números. Comumente, os procedimentos conforme indicados antes não são práticas entre professores e estudantes do ensino básico, nem mesmo estão expressos nos livros didáticos, apresentados mais próximos do que ilustra a figura a seguir, conforme Dante (p.119, 123-124).

Tal livro não apresenta as definições para o mmc ou mdc, parte de exemplos de problemas, alguns exercícios que exploram o mesmo raciocínio aplicado na solução dos problemas e então apresenta o que chama de "processo prático".

Ora, todos estes procedimentos trazem em si diferentes representações, mas que tratam de uma mesma estrutura. Na verdade, eles são bem próximos, o que realmente mais os difere é justamente a forma como cada procedimento é representado.